大部分国内的线性代数都是从行列式开始讲起，这里只列出基本性质方便回顾。

行列式的几何意义

1. 行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或体积
2. 坐标系变换下的图形面积或体积的伸缩因子，即变换矩阵$A$

行列式的一般性质

1. $|I_n| = det(I_n)=1$
2. 设$A = (\alpha_1,...,\alpha_n),B = (\alpha_1,...\alpha_{i-1},k\alpha_i,\alpha_{i+1},...\alpha_n)$,则$det(B) = k\times det(A)$
3. 设$A = A = (\alpha_1,...,\alpha_n),A^{'} = (\alpha_1,...,\alpha_i^{'},...\alpha_n),B = (\alpha_1,...\alpha_{i}+\alpha_i^{'},..,\alpha_n)$,则$det(B) = det(A)+det(A^{'})$
4. $det(A) = det(A^T)$
5. 任意交换$A$的两列得到$A^{'}$，则$det(A) = -det(A^{'})$。

推论

1. 若$A$的两行（列）成比例，则$det(A) = 0$

2. 将$A$的某一行（列）乘上一个倍数加到另外一列（行），得到矩阵$A^{'}$，则$det(A) = det(A^{'})$

3. 若$A$是一个方阵，则$det(A) \neq 0 \Leftrightarrow A$可逆

4. 设$A,B$是两个$n$阶方阵，则$|AB| = |A| \times |B|$

5. $|A+B| \neq |A|+|B|,|kA| \neq k|A|$

6. 设$A = (a_{ij})_n$为$n$阶矩阵，$A_{ij}$为$|A|$中元素$a_{ij}$的代数余子式，则称矩阵$A^{\star}$为$A$的伴随矩阵：

   $A^{\star} = \begin{pmatrix}A_{11} &A_{12} &... &A_{1n} \\\\ A_{21}&A_{22} &... &A_{2n} \\\\ ... &... &... &... \\\\ A_{n1} &A_{n2} &... &A_{nn} \end{pmatrix}^T$

   不难得到： $AA^{\star} = |A|I$。

   因此： $A^{-1} = \frac {1}{|A|}A^{\star}$

7. 当$A$为奇异矩阵时，不难得到$AA^{\star} = |A|I =zero \space matrix$。因此，$A^{\star}$的每一列都在$A$的零空间中。

行列式的计算

1. 直接利用公式计算

2. 使用代数余子式（algebraic complement）计算

   令$C_{ij} = (-1)^{i+j}det(M_{ij})$，则：$det(A) = a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+...+a_{in}C_{in}$

3. 综合利用消元法和降阶法

   典型例题：计算Vandermonde行列式

   证明$|\lambda I_m -AB| = \lambda^{m-n}|\lambda I_n - BA|$

求逆矩阵

设$A = (a_{ij})_{n\times n}$可逆，构造如下矩阵，称为$A$的伴随矩阵(adjoint of A)：

$adj(A) = \begin{pmatrix}C_{11} &C_{12} &... &C_{1n} \\\\ C_{21}&C_{22} &... &C_{2n} \\\\ ... &... &... &... \\\\ C_{n1} &C_{n2} &... &C_{nn} \end{pmatrix}^T$

$A^{-1} = \frac {adj(A)}{|A|}$

$r(A ) = n \Rightarrow r(adj(A)) = n$

$r(A ) = n-1 \Rightarrow A\times (adj(A)) = 0$，因此$adj(A)$的列属于$A$的零空间。而$dim N(A) = 1 \Rightarrow r(adj(A)) = 1$

$r(A) \le n-2 \Rightarrow A$的任意n-1阶子矩阵都不可逆$\Rightarrow C_{ij} = 0 \rightarrow adj(A) = 0$

外积

给定两个向量$u=\begin{pmatrix}u_1\\\\u_2 \\\\u_3 \end{pmatrix},v=\begin{pmatrix}v_1\\\\v_2 \\\\v_3 \end{pmatrix},u\times v = \begin{pmatrix}u_2v_3 - u_3v_2\\\\u_3v_1-u_1v_3 \\\\ u_1v_2-u_2v_1 \end{pmatrix}$

若$i,j,k$为单位向量，则：

$\begin{vmatrix}i & j & k\\\\ u_1 &u_2 &u_3 \\\\ v_1& v_2 &v_3 \end{vmatrix} = (u_2v_3 - u_3v_2)\textbf i + (u_3v_1 - u_1v_3)\textbf{j}+ (u_1v_2 - u_2v_1)\textbf k$

性质

1. $u \times v = -v \times u \rightarrow u\times u = 0$
2. $(u_1 + u_2) \times v = u_1 \times v + u_2 \times v$