本文主要讲矩阵对角化的证明及应用。

矩阵对角化条件

• 定义一：若存在可逆矩阵$S$，使得$S^{-1}AS$为对角矩阵，则称为矩阵$A$是可对角化的（diagonalized）。

  • 设$n\times n$矩阵有$n$个线性无关的特征向量$x_1,...,x_n$，令$S =(x_1,...,x_n)$，则：

    $AS = A(x_1,...,x_n) = (\lambda _1 x_1,...,\lambda_n x_n ) = (x_1,...,x_n)\begin{pmatrix}\lambda_1 & & \\\\ & ... & \\\\ & & \lambda_n\end{pmatrix}$

    $AS = S\Lambda \Rightarrow S^{-1}AS = \Lambda$ A

• 定义二：$n \times n$矩阵$A$可对角化的充要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量。

  那么什么样的方阵有线性无关的特征向量呢？

• 定义三：$\lambda_1,..,\lambda_n$是矩阵$A$的互异特征值，$x_1,...,x_n$是相应的特征向量，则$x_1,...,x_n$线性无关。

  • 可利用vandermonde行列式证明
  • 可用反证法证明
  • 同一个特征值对应的特征向量不一定都线性无关。

• 定义四：若$n\times n$矩阵有$n$个互异的特征值，则矩阵可以对角化。

  • 但若矩阵有相同的特征值，也可能可以对角化。

思考

• 矩阵可对角化和矩阵可逆有什么关系吗？

  • 没有明显关系。
  • 若矩阵可对角化，不一定可逆。
    • 例如，全一矩阵（实对称矩阵）可对角化，但不可逆。因为特征值为0在可对角化中是允许的。
  • 若矩阵可逆，不一定可对角化。
    • 例如，将单位矩阵的任意非零元变为1，则依然可逆，但不可对角化。

• 若$n$阶矩阵$A$与$B$相似，则$A$与$B$特征多项式相同。

• 相似矩阵特征值相同。
• 相似矩阵行列式相同。
• 具有相同的可逆性。

几何重数与代数重数

1. 定义：设$det(A - \lambda I) = (\lambda_1 - \lambda)^{n_1} ... (\lambda_k - \lambda)^{n_k}$，称$n_i$为特征值$\lambda _i$的代数重数（algebraic multiplicity），记做$AM(\lambda_i) = n_i$，称$dimN(A-\lambda_iI)$为特征值$\lambda _i$的几何重数（geometric multiplicity），记做$GM(\lambda_i) = dimN(A-\lambda+i I)$。

   • 从直观上看，代数重数就是对应的特征值的次数，几何重数是特征向量的维数，探究的就是特征值和特征向量之间的关系。

2. 任意复方阵相似于上三角阵，且对角元为上三角矩阵的特征值。

3. $\boldsymbol {GM(\lambda) \le AM(\lambda)}$

   • 由定理2，$A$相似于上三角矩阵$T$，则$A$和$T$有相同的特征值，且对于任意特征值$\lambda _i$，$GM_A(\lambda_i) = GM_T(\lambda_i)$。

   • 因此，不妨设$A$是上三角阵，即$A =\begin{pmatrix}a_{11} & & \\\\ & ... & \\\\ & & a_{nn}\end{pmatrix}$。

   • 因此$A-\lambda _i I$为对角线上对应的特征值为0，但这一行不一定为0（最多矩阵的特征值少1），因此新的矩阵$r(A-\lambda _i I) \ge n - AM(\lambda_i)$

   所以$GM(\lambda_i) = n - r(A - \lambda_i I) \le AM(\lambda_i)$。

4. 若复方阵$A$可对角化$\Leftrightarrow$对任意特征值$\lambda_i$，$GM(\lambda_i) = AM(\lambda_i)$。

   因为若$GM(\lambda_i) = AM(\lambda_i)$，则矩阵有$n$个线性无关的特征向量。

矩阵对角化判断

1. 求出矩阵的所有特征值。
2. 对于每个特征值，计算特征向量，并检查$r(A-\lambda _i I) = n - AM(\lambda_i)$是否成立。
3. 若都成立，则计算特征向量（基础解系）。
4. 最后将特征向量与特征值对应起来，就可以写出$P^{-1}AP= \Lambda$。

注意：使矩阵对角化的特征向量不是唯一的（可以乘上常数倍）。

矩阵对角化的应用

1. 可快速计算$A^k$。

2. 可计算Markov过程中的平稳分布$\pi$。

   • 可得到方程：$\pi P = \pi \quad \pi 1 = 1$。

3. 计算Fibonacci数列。

4. 差分方程$u_{k+1} = Au_{k}$描述的离散动力系统的长期行为

   • 设$A$可对角化，即存在可逆矩阵$S=(x_1,...,x_n)$，使得$S^{-1 }A S = \Lambda$

   • 设$S^{-1} u_0 = (c_1,...,c_n)^T$,即$u_0 = c_1x_1 + ... +c_nx_n$。

   • $u_k = A^ku_0 = S\Lambda ^kS^{-1}u_0 = c_1\lambda_1^kx_1 + ... + c_n\lambda_n^kx_n$

   • 可以看出，$u_k$的增长因子$\lambda_i^k$支配，因此系统的稳定性依赖于$A$的特征值。

   当所有特征值$|\lambda_i|<1$时，是稳定的；

   当所有特征值$|\lambda_i|\le1$时，是中性稳定的；

   当至少有一个特征值$|\lambda_i|>1$时，是不稳定的；

同时对角化

1. 定理：若$A$、$B$有相同的特征向量矩阵$P$，使得$P^{-1}AP= \Lambda_1,P^{-1}BP= \Lambda _2$，则$AB = BA$。
2. 逆命题也成立：若$A$、$B$都可对角化，并且$AB = BA$，则$A$、$B$可同时对角化。